/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 3401833

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Sprawdź, czy prosta x − 3y − 1 = 0 jest styczna do okręgu 2 2 (x − 1) + (y + 3 ) = 4 .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku – dany okrąg ma środek S = (1,− 3) i promień r = 2 .

PIC

Sposób I

Przypomnijmy, że prosta może mieć z okręgiem jeden lub dwa lub zero punktów wspólnych. Ponadto prosta jest styczna do okręgu jeżeli ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny. Wyznaczamy punkty wspólne okręgu i prostej

(x− 1)2 + (y+ 3)2 = 4 (3y + 1 − 1)2 + (y+ 3)2 = 4 2 2 (3y) + (y+ 3) = 4 9y2 + y2 + 6y + 9 = 4 2 10y + 6y + 5 = 0 Δ = 36− 200 < 0.

Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych, w szczególności nie są styczne.

Sposób II

Jeżeli dana prosta jest styczna do okręgu to jej odległość od środka S tego okręgu będzie równa promieniowi okręgu. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

|1√+-9-−-1| = √-9-- ≈ 2,8. 1 + 9 1 0

Widać, że liczba ta jest różna od promienia okręgu r = 2 .  
Odpowiedź: Nie, nie są styczne.

Wersja PDF