/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 3410251

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Odcinek AB , gdzie A = (0,− 4), B = (0 ,6 ) , jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC . Wierzchołek C o ujemnej odciętej należy do prostej k o równaniu y = −x .

  • Oblicz współrzędne wierzchołka C .
  • Obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku S i skali k, k < 0 , jest trójkąt ′ ′ ′ A B C , którego pole wynosi 5. Wiedząc dodatkowo, że C′ = (612,− 3 12) , oblicz skalę jednokładności i współrzędne punktu S .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

PIC

  •  

    Sposób I

    Szukamy punktu postaci C = (x ,−x ) tak, aby suma kwadratów długości przyprostokątnych była równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

    AC 2 + BC 2 = AB 2 2 2 2 2 2 2 (x − 0) + (−x + 4) + (x − 0) + (−x − 6) = (0 − 0) + (6+ 4) x 2 + x 2 − 8x + 1 6+ x2 + x2 + 12x + 36 = 0 + 10 0 4x 2 + 4x − 48 = 0 / : 4 2 x + x − 12 = 0 Δ = 1 + 48 = 4 9 − 1− 7 − 1 + 7 x = ------- = − 4 ∨ x = ------- = 3. 2 2

    Ponieważ odcięta punktu C ma być ujemna mamy x = − 4 i C = (− 4,4) .

    Sposób II

    Ponieważ kąt ACB ma być prosty, szukany punkt C musi być punktem wspólnym danej prostej k oraz okręgu o środku A+B- O = 2 = (0,1 ) i promieniu AB2- = 102 = 5 . Okrąg ten ma równanie

    2 2 x + (y − 1) = 25 .

    Podstawiamy y = −x i mamy równanie

    x2 + (−x − 1)2 = 25 x2 + x2 + 2x+ 1 = 25 2 2x + 2x − 24 = 0 / : 2 x2 + x− 12 = 0 Δ = 1 + 48 = 49 −-1-−-7 −-1-+-7 x = 2 = − 4 ∨ x = 2 = 3.

    Jak poprzednio stwierdzamy, że C = (− 4,4) .

    Sposób III

    Szukamy punktu C = (x,−x ) tak, aby −→ −→ AC ∘ BC = 0 . Daje to nam równanie

    0 = [x − 0,−x + 4]∘ [x − 0,−x − 6] = [x,−x + 4]∘ [x,−x − 6] = = x 2 + (x − 4)(x + 6 ) = x2 + x2 + 2x − 24 2 0 = 2x + 2x − 24 / : 2 0 = x 2 + x − 12 .

    Równanie kwadratowe rozwiązujemy jak poprzednio.  
    Odpowiedź: C = (− 4,4 )

  • Ponieważ mamy podane pole trójkąta, który otrzymujemy po jednokładności, policzymy pole trójkąta ABC i to pozwoli nam ustalić jaka jest skala k jednokładności.
    1- 1-√ -------- √ ------- 1-√ ----- PABC = 2 AC ⋅BC = 2 16+ 64⋅ 16+ 4 = 2 1600 = 2 0.

    W takim razie 2 5- 1 k = 20 = 4 . Ponieważ z założenia k < 0 , mamy k = − 12 .

    Pozostało wyznaczyć współrzędne punktu S = (x ,y ) . Punkt ten leży na odcinku CC ′ i spełnia równość CS = 2SC ′ . Używając wektorów możemy to zapisać w postaci

    −→ −→ CS = 2SC ′ [ ] [x + 4 ,y− 4] = 2 13-− x,− 7-− y 2 2 [x + 4 ,y− 4] = [13 − 2x ,− 7− 2y] { x + 4 = 13 − 2x ⇒ x = 3 y − 4 = − 7 − 2y ⇒ y = − 1.

    Zatem S = (3,− 1)  
    Odpowiedź: 1 k = − 2, S = (3,− 1)

Wersja PDF