Zadanie nr 3508398

Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu 2 2 x + y − 8x + 2y − 3 = 0 jest zawarty w prostej o równaniu x + 2y − 12 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Rozwiązanie

Przekształćmy najpierw równanie okręgu tak, aby zobaczyć jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y − 8x + 2y − 3 = 0 (x − 4)2 + (y + 1)2 = 16 + 1 + 3 = 20

Jest to więc okrąg o środku S = (4,− 1) i promieniu √ --- √ -- r = 20 = 2 5 . Szkicujemy tę sytuację.

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia wierzchołków kwadratu jak na rysunku, to zaczniemy od napisania równań prostych i . Każda z nich jest prostopadła do danej prostej, więc mają równania postaci

y− 2x− b = 0

Współczynnik wyznaczymy sprawdzając, kiedy odległość tej prostej od punktu jest równa √ --- r = 2 0 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy zatem

√ -- |−--1−--8−--b| |9+--b| 2 5 = 1+ 22 = √ 5 10 = |9+ b| 10 = 9 + b lub 10 = − 9 − b b = 1 lub b = − 19 .

Proste i mają więc odpowiednio równania: y = 2x+ 1 i y = 2x− 19 . Wyznaczamy teraz współrzędne punktów i . Najpierw punkt – czyli punkt wspólny prostych i .