Zadanie nr 3753025

Napisz równanie wysokości trójkąta o wierzchołkach A = (− 7,1 ), B = (7,− 1), C = (1,1) opuszczonej z wierzchołka .

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Rysunek jest trochę podchwytliwy, bo trójkąt jest rozwartokątny, ale niczego to nie zmienia: wysokość to prosta przechodząca przez wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej bok .

Sposób I

Zadanie jest bardzo łatwe, jeżeli skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt (x ,y ) 0 0 :

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy wektor → → v = BC = [−6 ,2] i punkt A = (− 7,1) . Zatem równanie wysokości jest następujące:

− 6(x + 7) + 2(y − 1 ) = 0 / : 2 − 3x − 21 + y − 1 = 0 y = 3x + 22.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Wstawiając do równości y = ax+ b współrzędne punktów i otrzymujemy układ równań.

{ − 1 = 7a + b 1 = a + b.

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ), mamy

− 2 = 6a ⇒ a = − 1. 3

Zatem szukana wysokość będzie miała współczynnik kierunkowy (bo jest prostopadła do ). Szukamy więc prostej postaci y = 3x + b . Współczynnik wyliczamy podstawiając współrzędne punktu .