/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 3888795

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg o środku w punkcie S = (7,4) jest styczny do prostej o równaniu 3x + 4y + 13 = 0 . Oblicz promień tego okręgu oraz współrzędne punktu styczności.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że jeżeli A jest szukanym punktem styczności, to dana prosta

y = − 3-x− 13- 4 4

i prosta SA są prostopadłe. To pozwala dość łatwo napisać równanie prostej SA . Ma być ona prostopadła do danej prostej, czyli musi być postaci y = 4x + b 3 . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu S .

28 28 16 4 = ---+ b ⇒ b = 4 − ---= − ---. 3 3 3

Prosta SA ma więc równanie y = 4x − 16- 3 3 i współrzędne punktu A spełniają układ równań

{ 3 13 y = − 4 x− 4 y = 43x− 136.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

4 3 16 13 0 = -x + -x − ---+ --- 3 4 3 4 64−--39-= 16+--9x ⇒ x = 25-= 1. 12 12 25

Stąd y = 43 x− 136= − 4 i A = (1,− 4) . Promień okręgu jest równy

∘ ------------------- √ -------- AS = (7− 1)2 + (4 + 4)2 = 36+ 64 = 10.

 
Odpowiedź: r = 1 0,A = (1,− 4)

Wersja PDF