Zadanie nr 4158930

W trójkącie ABC , w którym A = (− 2,− 2) oraz B = (4 ,4) , kąt przy wierzchołku jest rozwarty. Bok zawiera się w prostej k : x− 3y− 4 = 0 . Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC znajduje się w odległości √ --- 10 od boku . Wyznacz równanie tego okręgu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt wspólny symetralnych jego boków. W naszej sytuacji łatwo napisać równanie jednej z symetralnych, więc od tego zacznijmy.

Symetralna boku to zbiór punktów P = (x,y ) , które są tak samo odległe od i od . Mamy stąd równanie

2 2 AX = BX (x + 2)2 + (y+ 2)2 = (x − 4)2 + (y − 4)2 x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = x 2 − 8x + 16+ y2 − 8y+ 16 12y + 12x = 24 y = −x + 2.

Oczywiście równanie symetralnej odcinka mogliśmy napisać na różne inne sposoby: np. korzystając z tego, że jest to prosta prostopadła do prostej i przechodząca przez środek odcinka , albo korzystając ze wzoru na prostą prostopadłą do wektora i przechodzącą przez punkt.

Zapiszmy teraz informację o odległości środka S = (x ,y) okręgu opisanego na trójkącie ABC od danej prostej 3y− x+ 4 = 0 . Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy

√ 10-= |3y√−--x+--4| 1 + 9 10 = |3y − x + 4 |.

Aby opuścić wartość bezwzględną, zauważmy, że informacja o tym, że kąt jest rozwarty oznacza, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC leży na zewnątrz tego trójkąta, czyli w naszej sytuacji poniżej prostej . W takim razie współrzędne punktu spełniają nierówność 3y < x − 4 i powyższy warunek przyjmuje postać