Zadanie nr 4392512

Odcinek o końcach A = (2,3) i B = (0,5) jest podstawą trapezu ABCD . Druga podstawa o środku w punkcie S = (− 2,1) jest dwa razy dłuższa od podstawy . Wyznacz współrzędne wierzchołków i . Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy najpierw, że wiemy jaka jest długość podstawy

∘ ------------------- √ ------ √ -- CD = 2AB = 2 (0− 2)2 + (5 − 3 )2 = 2 4+ 4 = 4 2.

W takim razie punkty i leżą na okręgu o środku i promieniu √ -- 2 2 , czyli na okręgu

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 8.

Oczywiście leżą one też na prostej równoległej do i przechodzącej przez . Aby napisać równanie tej prostej, piszemy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 3 = 2a+ b 5 = b.

Z pierwszego równania mamy 3−b a = -2--= − 1 . W takim razie prosta ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

1 = 2+ b ⇒ b = − 1.

Zatem prosta ma równanie y = −x − 1 . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z wcześniej wyznaczonym okręgiem (podstawiamy do równania okręgu).

2 2 (x + 2 ) + (−x − 1 − 1) = 8 2 (x + 2)2 = 8 2 (x + 2 ) = 4 x + 2 = − 2 ∨ x + 2 = 2 x = − 4 ∨ x = 0 .

Mamy wtedy odpowiednio y = −x − 1 = 3 i y = −x − 1 = − 1 . Zatem C = (0,− 1) i D = (− 4,3) .

Aby obliczyć wysokość trapezu wystarczy obliczyć odległość punktu od prostej . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x ,y ) 0 0 od prostej Ax + By + C = 0 :