Zadanie nr 4417558

Punkty B = (3,12) , C = (− 14,19 ) i D = (−2 1,12) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD , który nie jest równoległobokiem, i w którym AB ∥ CD . Oblicz współrzędne wierzchołka tego trapezu.

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.

Plan jest taki: napiszemy równanie prostej , potem równanie prostej i na prostej znajdziemy punkt taki, że AD = BC .

Do dzieła. Szukamy równania prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 19 = − 14a + b 12 = − 21a + b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

7 = 7a ⇒ a = 1.

Współczynnik nie jest nam potrzebny. Teraz wyznaczamy prostą – jest ona równoległa do , więc ma równanie postaci y = x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

12 = 3 + b ⇒ b = 9.

W takim razie prosta ma równanie postaci y = x+ 9 i współrzędne punktu mają postać A = (x,x+ 9) . Wiemy ponadto, że trapez jest równoramienny, więc

2 2 DA = BC (x+ 21)2 + (x+ 9− 12)2 = (− 14 − 3)2 + (19 − 12)2 2 2 x + 42x + 441 + x − 6x + 9 = 289 + 49 2x2 + 36x + 112 = 0 / : 4 1x 2 + 9x + 2 8 = 0 2 Δ = 8 1− 56 = 25 x = − 9 − 5 = − 14 lub x = − 9+ 5 = − 4.

Zatem A = (− 14,− 14 + 9) = (− 14,− 5) lub A = (− 4,− 4+ 9) = (− 4,5) . To jeszcze nie całkiem koniec, bo z założenia trapez ma nie być równoległobokiem, czyli jego podstawy nie mogą mieć równych długości. Tymczasem, jeżeli A = (− 4,5) , to