/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 4521528

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Początkowe ramię kąta α pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a na końcowym ramieniu tego kąta leży punkt P(− 6;8) . Oblicz wartość wyrażenia: co1sα + tg α .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy jeszcze, że

∘ ----------- √ ---- OP = (− 6)2 + 82 = 100 = 10

Sposób I

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego.

xP −6 3 co sα = ----= ---= − -- OP 10 5 tg α = yP-= -8--= − 4-. xP − 6 3

Stąd

--1-- + tgα = − 5-− 4-= − 9-= −3 . cos α 3 3 3

Sposób II

Zauważmy, że

∘ OA 6 3 cos(180 − α ) = OP--= 10-= 5-.

Stąd

∘ 3- co sα = − cos(180 − α) = − 5.

Podobnie

tg α = − tg (180∘ − α) = − AP--= − 8-= − 4-. OA 6 3

Stąd

--1-- + tgα = − 5-− 4-= − 9-= −3 . cos α 3 3 3

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt POB .

sin β = BP--= 6--= 3- OP 10 5 OB 8 4 ctgβ = BP--= 6-= 3.

Stąd

∘ 3- cos α = cos(9 0 + β) = − sin β = − 5 4 tg α = tg(90 ∘ + β ) = − ctg β = −-- 3

i

1 5 4 9 ----- + tgα = − --− --= − --= −3 . cos α 3 3 3

Sposób IV

Napiszmy równanie prostej OP . Jest to prosta postaci y = ax . Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu P .

8 4 8 = − 6a ⇒ a = − --= − -. 6 3

Otrzymany współczynnik kierunkowy to dokładnie tg α , więc

sinα 4 2 cosα-= − 3- /() 2 sin-α-= 16- cos2α 9 9(1− cos2α) = 16cos2 α 25cos2 α = 9 ⇒ cosα = ± 3- 5

Ponieważ α jest kątem rozwartym, mamy stąd cosα = − 35 oraz

--1-- + tgα = − 5-− 4-= − 9-= −3 . cos α 3 3 3

 
Odpowiedź: − 3

Wersja PDF