/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 4571201

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 7,− 2) i B = (4,− 7) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC , a wysokość opuszczona z wierzchołka A tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x + 19y + 52 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołka C .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Napiszemy najpierw równanie prostej BC – jest to prosta prostopadła do danej wysokości

AD : y = − -2-x− 52. 19 19

i przechodząca przez punkt B . Jest to więc prosta postaci y = 192-x+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

−7 = 19-⋅4 + b ⇒ b = − 45. 2

Prosta BC ma więc równanie:

y = 19x − 45. 2

Wyznaczymy teraz równanie symetralnej odcinka AB . Można to zrobić na wiele różnych sposobów – my szukamy punktów M = (x,y ) , które są równo odległe od punktów A i B .

2 2 |AM | = |BM | (x + 7)2 + (y + 2)2 = (x − 4)2 + (y + 7)2 2 2 2 2 x + 14x + 4 9+ y + 4y+ 4 = x − 8x + 16 + y + 14y + 49 0 = 1 0y− 22x + 12 y = 11x − 6. 5 5

Szukamy teraz punktu wspólnego C prostych BC i symetralnej odcinka AB .

{ y = 19x − 45 2 y = 151x − 65

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

19- 11- 6- 0 = 2 x− 5 x − 4 5+ 5 225 − 6 95 − 22 --------= -------x 5 10 219-= 73x ⇒ x = 2-19 ⋅ 10-= 6. 5 10 5 73

Stąd

19 y = --x − 4 5 = 57 − 45 = 1 2 2

i C = (6,12) .  
Odpowiedź: C = (6,12)

Wersja PDF