Zadanie nr 4626381

Punkty A = (− 1,6) i B = (3,− 2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wiedząc, że punkt przecięcia się wysokości tego trójkąta ma współrzędne M = (0,− 1) oblicz współrzędne wierzchołka .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Jak wyliczyć współrzędne wierzchołka ? Widać, że w miarę łatwo można napisać równanie wysokości : jest prostopadła do i przechodzi przez . Podobnie, możemy napisać równanie jednego z boków, powiedzmy : jest on prostopadły do i przechodzi przez . Punkt wspólny tych dwóch prostych to punkt .

Sposób I

Zadanie jest dość proste jeżeli skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y 0) :

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

Najpierw piszemy równanie wysokości : mamy → →v = AB = [4,− 8] i punkt M = (0 ,−1 ) .

4(x − 0)− 8(y + 1) = 0 / : 4 x− 2y − 2 = 0.

Teraz piszemy równanie prostej : mamy → → v = BM = [− 3,1] i punkt A = (− 1,6) .

− 3(x+ 1)+ 1(y− 6) = 0 − 3x− 3+ y− 6 = 0 − 3x+ y− 9 = 0.

Szukamy teraz punktu wspólnego otrzymanych prostych, czyli rozwiązujemy układ równań

{ x− 2y− 2 = 0 −3x + y− 9 = 0

Dodając do drugiego równania 3 razy pierwsze (żeby skrócić ) mamy − 5y − 15 = 0 , czyli y = − 3 . Z pierwszego równania mamy x = 2y + 2 = − 4 . Zatem C = (− 4,− 3) .

Sposób II

Jeżeli nie chcemy używać wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt, to musimy się odrobinę bardziej namęczyć. Zacznijmy od napisania prostej . Można to zrobić ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my będziemy wszystko robić wprost. Szukamy prostej y = ax + b spełniającej

{ 6 = −a + b − 2 = 3a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy − 8 = 4a , czyli a = − 2 . I tak naprawdę to nam wystarczy, bo jest nam potrzebny tylko kierunek prostej , współczynnik nie ma znaczenia.

Szukamy teraz prostej , czyli prostej prostopadłej do i przechodzącej przez . Jest ona postaci 1 y = 2x + b (bo jest prostopadła do ). Współczynnik wyznaczamy wstawiając punkt .