/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 4855917

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (4;− 3) , B = (− 1;2 ) , C = (7;0) jest prostokątny.

Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy podane punkty, to jest jasne, że kąt prosty powinien być przy wierzchołku A .

PIC

Sposób I

Aby sprawdzić czy tak jest w istocie, musimy sprawdzić czy → → AC ∘AB = 0 . Liczymy

→ → AC ∘ AB = [3,3 ]∘[− 5,5] = − 15 + 15 = 0.

A więc istotnie trójkąt ABC jest prostokątny.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z iloczynu skalarnego, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 AB = (− 1 − 4) + (2 + 3) = 25 + 25 = 50 AC 2 = (7 − 4 )2 + (0 + 3)2 = 9 + 9 = 18 2 2 2 2 2 BC = (7 + 1) + (0 − 2) = 64 + 4 = 68 = AB + AC .

Zatem istotnie ∡A = 90∘ .

Wersja PDF