Zadanie nr 4946161

Odcinek , gdzie A = (1,3) i B = (7,− 3) , jest podstawą trójkąta ABC . Oblicz współrzędne punktu tak, aby trójkąt ABC był równoramienny, a jego pole było równe 30.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczmy długość podstawy :

∘ ----------------------- ∘ ------- √ -- AB = (1− 7)2 + (3− (− 3 ))2 = 62 + 62 = 6 2.

Z podanego pola mamy zatem

1 √ -- 30 √ -- 30 = 2AB ⋅h = 3 2h ⇒ h = -√---= 5 2. 3 2

gdzie jest wysokością opuszczoną na bok .

Sposób I

Jeden z możliwych sposobów wyznaczenia punktu , to znalezienie punktów wspólnych okręgów o środkach w punktach i i promieniu

--------------- ∘ ( )2 --- AC = 1AB + h2 = √ 1-8+--50 = √ 68. 2

Musimy zatem rozwiązać układ równań.

( 2 2 |{ (x − 1) + (y − 3 ) = 68 (x − 7)2 + (y + 3 )2 = 68 |( { x 2 − 2x + y2 − 6y = 58 2 2 x − 14x + y + 6y = 10.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

12x − 12y = 48 ⇒ y = x − 4.

Podstawiamy tę wartość do pierwszego z równań

(x− 1)2 + (x− 4− 3)2 = 68 (x− 1)2 + (x− 7)2 = 68 2 2 x − 2x + 1 + x − 14x + 49 = 68 2x2 − 16x − 18 = 0 / : 2 2 x − 8x − 9 = 0 Δ = 64+ 36 = 100 x1 = 8-−-10-= − 1 ,x2 = 8+--10-= 9 . 2 2

Stąd odpowiednio

y = x − 4 = − 5 1 y2 = x − 4 = 5.

Zatem

C = (− 1,− 5) lub C = (9,5 ).

Sposób II

Trójkąt ABC ma być równoramienny zatem wierzchołek musi leżeć na symetralnej odcinka . Wyznaczamy środek odcinka .

( ) 1-+-7-3-−-3- S = 2 , 2 = (4,0).

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A,B . Szukamy prostej w postaci y = ax + b .

{ 3 = a+ b − 3 = 7a+ b.

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy

− 6 = 6a ⇒ a = − 1.

Zatem

3 = −1 + b ⇒ b = 4.

Teraz wyznaczymy prostą prostopadłą do prostej przechodzącej przez punkty A ,B i przechodzącą przez punkt (czyli symetralną odcinka ). Musi ona mieć postać y = x + b . Podstawiając współrzędne punktu obliczamy .

0 = 1 ⋅4 + b ⇒ b = − 4.

Zatem symetralna ma równanie y = x − 4 .

Ponieważ wierzchołek leży na symetralnej w odległości √ -- h = 5 2 od punktu , więc leży na okręgu o środku w punkcie i promieniu √ -- 5 2 . Zapiszmy równanie tego okręgu

√ -- (x − 4)2 + y2 = (5 2)2 = 50.

Otrzymujemy zatem układ równań

{ √ -- (x − 4 )2 + y2 = (5 2)2 = 50 y = x− 4.

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego i liczymy

(x− 4)2 + (x − 42) = 50 2(x− 4)2 = 50 / : 2 2 (x− 4) = 25 x− 4 = − 5 lub x − 4 = 5 x = − 1 lub x = 9 .

Zatem

y = − 1 − 4 = − 5 lub y = 9− 4 = 5,

czyli

C = (− 1,− 5) lub C = (9,5 ).

Sposób III

Postępujemy podobnie jak w poprzednim sposobie, wyliczamy najpierw współrzędne środka odcinka :

( 1 + 7 3 − 3 ) S = -----,------ = (4,0). 2 2

Teraz napiszemy równanie prostej zawierającej wysokość . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x ,y ) 0 0