Zadanie nr 5094905

Boki i równoległoboku ABCD są zawarte odpowiednio w prostych o równaniach y = − 15x + 5 i y = − 7x + 39 . Napisz równanie prostej zawierającej przekątną tego równoległoboku, jeżeli jego środek ma współrzędne ( 1 3) S = 2,2 .

Rozwiązanie

Szkicujemy równoległobok z przekątnymi (nasz rysunek jest dość dokładny, ale do rozwiązania wystarczy zwykły schematyczny szkic równoległoboku – nie musi być nawet w układzie współrzędnych).

Rozpoczynamy od wyznaczenia punktu – jest to punkt wspólny dwóch podanych prostych.

{ y = − 15x + 5 y = − 7x + 39.

Porównujemy -ki i mamy

1 − -x + 5 = − 7x + 39 / ⋅5 5 − x + 2 5 = − 35x + 195 34x = 1 70 ⇒ x = 5 .

Stąd y = − 7x + 3 9 = 4 i A = (5,4) .

Teraz wyznaczymy współrzędne wierzchołka C = (xC ,yC ) – punkt jest środkiem odcinka , więc

( ) S = A--+-C-= 5-+-xC-, 4+-yC- 2 2 2 { 1 5+xC 2 = -2--- ⇒ xC = − 4 3 = 4+yC- ⇒ yC = − 1. 2 2

Zatem C = (− 4,− 1) . Aby wyznaczyć współrzędne punktu piszemy równanie prostej . Prosta ta jest równoległa do , więc ma równanie postaci y = − 7x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

− 1 = 2 8+ b ⇒ b = − 29.

Prosta ma więc równanie y = − 7x − 29 . Wyznaczamy teraz jej punkt wspólny z prostą .

{ y = − 7x − 2 9 1 y = − 5 x+ 5

Porównujemy -ki i mamy

1- − 7x − 2 9 = − 5x + 5 / ⋅5 − 35x − 145 = −x + 25 − 170 = 34x ⇒ x = − 5.

Stąd y = − 7x − 2 9 = 6 i B = (−5 ,6) . Pozostało teraz napisać równanie prostej (czyli przekątnej ). Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .