Zadanie nr 5149919

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu 2 2 x + y + 8x + 2y + 12 = 0 poprowadzonymi przez punkt A = (− 1,0) .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Jeżeli zapiszemy równanie okręgu w postaci

(x + 4 )2 + (y + 1)2 = 5

to widać, że mamy do czynienia z okręgiem o środku S = (− 4 ,− 1 ) i promieniu -- r = √ 5 .

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez i punkty styczności stycznych poprowadzonych z punktu do okręgu, to

√ -- SB = SC = r = 5.

Ponadto

∘ --------------------- 2 2 √ --- SA = (− 1+ 4) + (0+ 1) = 10.

Zatem

√ -- √ -- BS-- ---5- -1-- --2- sin α = SA = √ 10-= √ 2-= 2 ,

czyli ∘ α = 45 . To oznacza, że ∘ ∡A = 2α = 90 .

Sposób II

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii analitycznej i wyznaczymy równania stycznych.

Proste przechodzące przez punkt A = (− 1,0) mają postać y = m(x + 1 ) (tak naprawdę brakuje w tym pęku pionowej prostej x = − 1 , ale łatwo sprawdzić, że nie jest ona szukaną styczną). Sprawdźmy, kiedy prosta tej postaci jest styczna do okręgu: wstawiamy do równania okręgu y = m (x + 1) i sprawdzamy, kiedy otrzymane równanie kwadratowe ma dokładnie jeden pierwiastek.

2 2 x + (m (x + 1)) + 8x + 2(m (x + 1)) + 12 = 0 x2 + m 2(x2 + 2x + 1) + 8x + 2mx + 2m + 12 = 0 2 2 2 2 x (m + 1)+ x(2m + 2m + 8)+ m + 2m + 12 = 0 0 = Δ = (2m 2 + 2m + 8)2 − 4(m 2 + 1)(m 2 + 2m + 12) / : 4 0 = (m 2 + m + 4)2 − (m2 + 1)(m 2 + 2m + 12) 4 2 3 2 4 3 2 2 0 = m + m + 16+ 2m + 8m + 8m − m − 2m − 12m − m − 2m − 1 2 0 = − 4m 2 + 6m + 4 / : 2 2 2m − 3m − 2 = 0 Δ = 9 + 16 = 25 m = 3-−-5-= − 1- ∨ m = 3+--5-= 2. 4 2 4

Zatem styczne do okręgu przechodzące przez punkt mają postać 1 y = − 2(x + 1) i y = 2 (x+ 1) . Teraz wystarczy zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy − 1 , więc proste te są prostopadłe.

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie szukamy prostej przechodzącej przez punkt w postaci

y = m (x + 1) y− mx − m = 0.

Prosta ta będzie styczna do danego okręgu jeżeli odległość środka tego okręgu od tej prostej będzie równa √ -- r = 5 . Na mocy wzoru na odległość punktu od prostej mamy więc równanie