Zadanie nr 5262946

W rombie ABCD , którego pole jest równe 10 dane są przeciwległe wierzchołki A (0,4) i C (4,2) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Rozwiązanie

Jest kilka sposobów rozwiązania tego zadania, my pokażemy jeden z nich. Najważniejsza w tym zadaniu jest dokładna analiza schematycznego rysunku.

Pozostałe wierzchołki byłoby łatwo wyliczyć gdybyśmy znali długość boku rombu. Tę długość możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABS pod warunkiem, że znamy długości przekątnych. Z przekątną nie ma problemu

∘ -2----2 √ ------- √ -- AC = 4 + 2 = 1 6+ 4 = 2 5.

Jeżeli chodzi o drugą przekątną, to skorzystamy ze wzoru na pole rombu

1 PABCD = -AC ⋅BD . 2

Stąd

1- √ -- 2 ⋅2 5 ⋅BD = 10 10 √ -- BD = √---= 2 5 . 5

Zamiast korzystać ze wzoru na pole rombu, mogliśmy zauważyć, że pole trójkąta ABS jest równe pola całego rombu i skorzystać ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego.

Liczymy teraz długość boku rombu

∘ ---2------2 √ ------ √ --- AB = AS + BS = 5+ 5 = 10.

Szukamy teraz punktów, które są odległe od i o √ --- 10 (lub jak kto woli przecinamy dwa okręgi o środkach w tych punktach i promieniu ). Aby nie mieć pierwiastków, od razu piszemy kwadraty odległości