/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 5299193

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k , przechodzącego przez punkty A i B , jeśli k : y = − 2x − 2; A(5 ,10), B (3,12) .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Napiszmy warunek, że punkty A i B są równo odległe od pewnego punktu O = (x ,y ) prostej k (ten punkt to oczywiście szukany środek okręgu).

AO 2 = BO 2 2 2 2 2 (x − 5 ) + (y − 10 ) = (x− 3) + (y− 12) x 2 − 1 0x+ 25 + y2 − 20y + 100 = x2 − 6x + 9+ y2 − 24y + 144 4y = 4x + 28 y = x + 7.

To co wyznaczyliśmy, to dokładnie symetralna odcinka AB , oczywiście mogliśmy ją wyznaczyć na różne inne sposoby.

Korzystamy teraz z tego, że punkt O leży na prostej k :

x+ 7 = y = − 2x − 2 3x = − 9 ⇒ x = − 3.

Zatem y = x + 7 = 4 i O (−3 ,4) . Pozostało wyliczyć promień.

∘ -------------------- √ -------- OA = (5 + 3)2 + (10 − 4)2 = 6 4+ 3 6 = 10.

Zatem okrąg ma równanie

2 2 2 (x + 3) + (y − 4) = 10 .

 
Odpowiedź: (x + 3)2 + (y − 4)2 = 10 2

Wersja PDF