Zadanie nr 5353985
Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg 
w dwóch punktach 
i 
. Uzasadnij, że liczba 
nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu.
Rozwiązanie
Przekształćmy na początek podane równanie okręgu.
Jest to więc okrąg o środku w punkcie 
i promieniu 2. Możemy teraz narysować opisaną sytuację.
Proste przechodzące przez początek układu możemy zapisać w postaci 
. Ta postać ma jednak wadę, bo nie uwzględnia pionowej prostej 
. Dlatego lepiej jest te proste sparametryzować wzorem 
(teraz też nie ma jednej prostej: 
, ale ona nie przecina okręgu). Szukamy punktów wspólnych takiej prostej i okręgu.
Zanim zajmiemy się tym równaniem, zobaczmy co mamy wyliczyć. Jeżeli 
i 
to mamy wyliczyć
Opuściliśmy pierwiastek, bo z rysunku jest jasne, że 
i 
(wszystkie punkty okręgu mają tę własność). Możemy więc obliczyć szukany iloczyn ze wzorów Viète’a.
Zauważmy, że nie musimy sprawdzać, kiedy otrzymane równanie kwadratowe ma pierwiastki – my zakładamy, że je ma (co jakoś tam przekłada się na 
) i badamy ich własności.
Dla ciekawskich. Zadanie jest szczególnym przypadkiem tzw. twierdzenia o siecznej: jeżeli przez punkt 
poprowadzimy sieczną okręgu o środku 
i promieniu 
, która przecina ten okrąg w punktach 
i 
, to
W szczególności iloczyn ten nie zależy od wyboru siecznej (może też być styczna, wtedy 
). Twierdzenie to nosi też nazwę twierdzenia o potędze punktu względem okręgu – można sobie to wygooglać.
Odpowiedź: 12
