Zadanie nr 5425996

Punkty A = (0,0) i C = (8,4) są wierzchołkami rombu ABCD , którego jeden z boków zawiera się w prostej y = 4 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Widać, że boki i mają równania odpowiednio y = 0 i y = 4 (druga prosta jest podana w treści, a pierwsza musi być do niej równoległa i musi przechodzić przez , więc jest to y = 0 ). Pozostałe dwa wierzchołki wyznaczymy pisząc równanie przekątnej i znajdując jej punkty wspólne z prostymi i .

Środek przekątnej ma współrzędne

( ) S = 0-+-8, 0-+-4 = (4,2). 2 2

Prosta jest prostopadła do prostej i przechodzi przez . Wyznaczymy jej równanie na dwa sposoby.

Sposób I

Napiszmy najpierw równanie prostej . Skoro przechodzi ona przez punkt (0,0) to jest postaci y = ax . Podstawiając w tym równaniu współrzędne punktu mamy

1- 4 = 8a ⇒ a = 2.

Zatem prosta ma równanie y = 1x 2 , a prosta jako prostopadła do niej ma postać y = − 2x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

2 = − 8+ b ⇒ b = 1 0.

Zatem równanie to y = − 2x + 10 . Znajdźmy jej punkt wspólny z prostą y = 0 :

0 = − 2x + 1 0 ⇒ x = 5.

Zatem B = (5,0) . Teraz znajdujemy punkt wspólny z prostą y = 4 .

4 = − 2x + 1 0 ⇒ x = 3.

Zatem D = (3,4) .

Sposób II

Równanie prostej można bardzo szybko napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt S = (x 0,y0) :