Zadanie nr 5527849

Na okręgu o równaniu 2 2 x + y = 8 opisano romb o polu 100 3 . Dłuższa przekątna rombu zawiera się w prostej o równaniu y = x . Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Ponieważ przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych to środek okręgu wpisanego w romb pokrywa się z punktem przecięcia wysokości. Ponadto promień okręgu wpisanego to dokładnie połowa wysokości rombu. Możemy więc zapomnieć o okręgu wpisanym i pamiętać, że mamy środek (0,0) i wysokość rombu √ -- 4 2 .

Ponieważ mamy podane pole rombu, możemy obliczyć długość jego boku

√ -- 1030 25 2 a = -√---= ------. 4 2 6

Mając długość boku i wysokość rombu możemy obliczyć długości przekątnych. Z trójkąta prostokątnego BHC mamy

∘ ------------ ∘ ----------- √ --- √ -- BH = BC 2 − CH 2 = 1250-− 3 2 = --98-= 7--2-. 36 36 6

Zatem √- AH = 3262- i możemy obliczyć długość przekątnej

∘ ------------ ∘ ------- ∘ ----2------2- 2⋅-322 32- AC = AH + HC = 36 + 32 = 4 9 + 2 = ∘ --- √ -- = 4 50-= 20---2. 9 3

Szukamy teraz na prostej y = x punktów w odległości √ - 103-2- od punktu (0,0)

x2 + y2 = 20-0 9 2 200 2 100 2x = -9-- ⇒ x = -9--.

Stąd A = (− 10,− 10) 3 3 i C = (10, 10) 3 3 .

Punkty i leżą na prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez (0,0) , czyli na prostej y = −x . Ponadto ich odległość od punktu (0,0) (ze wzoru na pole P = 12d 1d2 ), to: