/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 5585302

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (− 6,− 3) i C = (− 2,− 5) są przeciwległymi wierzchołkami deltoidu ABCD , w którym |AB | = |BC | . Wyznacz równanie prostej BD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie symetralnej odcinka AC , czyli prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez środek S odcinka AC (bo przekątne deltoidu są prostopadłe i przekątna BD dzieli przekątną AC na dwie równe części). Punkt S ma współrzędne

( ) − 6 − 2 −3 − 5 S = -------, ------- = (− 4,− 4). 2 2

Równanie prostej BD napiszemy na kilka sposobów.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów X = (x,y) , których odległość od końców odcinka jest taka sama. Punkty te spełniają więc równanie.

AX = CX AX 2 = CX 2 2 2 2 2 (x+ 6) + (y+ 3) = (x + 2) + (y+ 5) x2 + 12x + 36 + y2 + 6y + 9 = x2 + 4x+ 4+ y2 + 10y + 25 8x + 16 = 4y / : 4 y = 2x + 4.

Sposób II

Zacznijmy od napisania równania prostej AC . Szukamy prostej postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów A i C otrzymujemy układ równań.

{ −3 = − 6a+ b −5 = − 2a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) mamy

− 2 = 4a ⇒ a = − 1. 2

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta BD , jako prostopadła do AC musi mieć współczynnik kierunkowy 2, czyli jest postaci y = 2x+ b dla pewnego b . Współczynnik b wyliczamy podstawiając współrzędne punktu S = (− 4,− 4) .

− 4 = −8 + b ⇒ b = 4.

Zatem szukana prosta ma równanie y = 2x + 4 .

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru

p(x − a )+ q(y − b ) = 0

na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt S = (a ,b ) . W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [− 2 + 6,− 5 + 3] = [4,− 2],

oraz S = (− 4,− 4) , czyli równanie prostej BD ma postać:

4(x + 4)− 2(y + 4) = 0 / : 2 2x + 8 − y − 4 = 0 y = 2x + 4.

 
Odpowiedź: y = 2x+ 4

Wersja PDF