/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 5633827

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Mając dane współrzędne punktu C = (− 5,0) kwadratu ABCD oraz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych S = (1,2) , wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu ABCD .

Rozwiązanie

PIC

Ze wzoru na środek odcinka od razu wyliczamy współrzędne punktu A = (x,y ) .

( ) (1,2 ) = −-5+--x, 0-+-y ⇒ A = (7,4). 2 2

Jak wyznaczyć pozostałe wierzchołki? Jest na to wiele sposobów, jeden z najprostszych to napisanie równania drugiej przekątnej kwadratu i znalezienie na niej punktów, które są odległe od S o tyle samo co A i C . Policzmy najpierw odległość A i S .

AS 2 = (1 − 7 )2 + (2 − 4)2 = 3 6+ 4 = 40.

Aby napisać równanie drugiej przekątnej skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y 0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji → → v = AS = [− 6,− 2] , czyli prosta BD ma równanie

− 6(x− 1)− 2(y− 2) = 0 − 3(x− 1)− (y− 2) = 0 y = − 3x + 5.

Szukamy teraz na tej prostej punktów, których kwadrat odległości od S wynosi AS 2 = 4 0 .

{ y = − 3x + 5 (x− 1)2 + (y− 2)2 = 40

Podstawiając za y w drugim równaniu mamy

2 2 (x − 1 ) + (− 3x + 5 − 2) = 40 x 2 − 2x + 1+ 9x 2 − 18x + 9 = 40 2 10x − 20x − 30 = 0 x 2 − 2x − 3 = 0.

Liczymy Δ = 4 + 12 = 1 6 , x = − 1 lub x = 3 . Stąd y = 8 i y = − 4 odpowiednio.  
Odpowiedź: A = (7,4) , B = (− 1,8) , D = (3,− 4)

Wersja PDF