/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 5650662

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta ABCD jeżeli A = (− 8,− 2) , B = (6,− 2) , C = (7,3) i D = (− 2,6 ) .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Aby wyznaczyć współrzędne punktu S napiszemy równania prostych AC i BD , a potem znajdziemy ich punkt wspólny.

Równania prostych AC i BD można napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my nie będziemy z niego korzystać.

Najpierw prosta AC : szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów A i C

{ −2 = − 8a+ b 3 = 7a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować b ) i mamy

5 = 15a ⇒ a = 1-. 3

Zatem b = 3 − 7a = 3− 73 = 23 i prosta AC mam równanie y = 13x + 23 .

Dokładnie w ten sam sposób wyznaczamy równanie prostej BD : podstawiamy do wzoru y = ax + b współrzędne punktów B i D .

{ − 2 = 6a + b 6 = − 2a + b .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 8 = 8a ⇒ a = − 1.

Zatem b = 6 + 2a = 4 i prosta BD ma równanie y = −x + 4 .

Teraz pozostało znaleźć punkt wspólny prostych AC i BD .

{ y = 13x + 23 y = −x + 4.

Podstawiamy 1 2 y = 3x + 3 z pierwszego równania do drugiego

1 2 -x + --= −x + 4 3 3 4x = 4− 2-= 10- /⋅ 3- 3 3 3 4 1 0 5 x = --- = --. 4 2

Stąd y = −x + 4 = − 5+ 4 = 3 2 2 i S = (5, 3) 2 2 .  
Odpowiedź: (5 3) 2,2

Wersja PDF