/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 5805772

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 2,0) i B = (8,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB i polu równym 15. Oblicz współrzędne punktu C .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że znamy długość podstawy trójkąta ABC :

AB = 8+ 2 = 10.

Jeżeli więc h jest długością wysokości opuszczonej na ten bok to z podanego pola mamy

15 = 1-⋅AB ⋅h = 5h ⇒ h = 3. 2

To oznacza, że wierzchołek C musi leżeć na jednej z prostych y = 3 lub y = − 3 . Jeżeli spojrzymy teraz ponownie na obrazek, to widać, że będą 4 takie punkty C .

Sposób I

Skoro trójkąt ABC ma być prostokątny, to punkt C musi leżeć na okręgu o średnicy AB . Nie jest trudno napisać równanie tego okręgu. Jego środek to środek odcinka AB , czyli

( ) − 2 + 8 0+ 0 O = ---2---, --2--- = (3,0),

a promień jest równy

AB 10 r = ----= ---= 5. 2 2

Zatem okrąg o średnicy AB mam równanie

2 2 (x − 3 ) + y = 25.

Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostymi y = − 3 i y = 3 . Zrobimy to za jednym zamachem: podstawiamy y2 = 9 w powyższym równaniu.

(x − 3)2 + 9 = 25 2 (x − 3) = 16 x − 3 = − 4 ∨ x − 3 = 4 x = − 1 ∨ x = 7.

Zatem C = (− 1,− 3) lub C = (− 1,3) lub C = (7 ,−3 ) , lub wreszcie (7,3) .

Sposób II

Szukamy takiego punktu C = (x,± 3) (bo ma leżeć na prostej y = ± 3 ), aby trójkąt ABC był prostokątny. Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa.

2 2 2 AB = AC + BC (8+ 2)2 = (x + 2)2 + 9+ (x − 8)2 + 9 2 2 100 = x + 4x + 4+ 9+ x − 16x + 64 + 9 0 = 2x 2 − 12x − 14 / : 2 0 = x2 − 6x − 7 2 Δ = 36+ 28 = 64 = 8 6-−-8- 6+--8- x = 2 = − 1 ∨ x = 2 = 7.

Otrzymujemy w ten sposób te same punkty, co w sposobie I.

Sposób III

Szukamy takiego punktu C = (x,y) = (x ,± 3 ) , aby odcinki AC i BC były prostopadłe. Łatwo zapisać ten warunek używając iloczynu skalarnego.

−A→C ∘B−C→ = 0 [x+ 2,y]∘ [x− 8,y] = 0 (x + 2)(x − 8) + 9 = 0 x2 − 6x − 7 = 0

Dalej liczmy jak w II sposobie.  
Odpowiedź: C = (− 1,− 3) lub C = (− 1,3) lub C = (7,− 3) lub (7,3)

Wersja PDF