/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6104846

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W prostokącie ABCD dane są A = (− 7,0) , B = (− 5,2) i C = (1,− 4) . Napisz równanie prostej, która jest styczna w punkcie D do okręgu opisanego na prostokącie ABCD .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Wyznaczmy najpierw współrzędne czwartego wierzchołka prostokąta. Środek S prostokąta ma współrzędne

( ) S = A--+-C- = −-7-+-1, 0-−-4 = (− 3,− 2). 2 2 2

Punkt S jest też środkiem odcinka BD . Stąd

( ) B-+-D-- −-5+-xD-- 2+--yD- (− 3,− 2) = 2 = 2 , 2 { − 6 = − 5 + xD ⇒ xD = − 1 − 4 = 2 + y ⇒ y = − 6. D D

Zatem D = (− 1,− 6) . Równanie stycznej do okręgu w punkcie D napiszemy jako równanie prostej przechodzącej przez D i prostopadłej do promienia SD . Najpierw piszemy równanie prostej SD . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów S i D .

{ −2 = − 3a+ b −6 = −a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) i mamy

− 4 = 2a ⇒ a = − 2.

Współczynnika b nie potrzebujemy, więc możemy go nie obliczać.

Szukana styczna jest prostopadła do SD , więc ma równanie postaci y = 12x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

1- 1- 11- − 6 = − 2 + b ⇒ b = − 6 + 2 = − 2 .

Szukana styczna ma więc równanie y = 12x − 112 .  
Odpowiedź: y = 1x − 11 2 2

Wersja PDF