/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6113516

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt A = (9,1) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 60. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x− y− 7 = 0 . Wyznacz równanie okręgu wpisanego w ten romb.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

PIC

Środkiem okręgu wpisanego w romb jest punkt S przecięcia się jego przekątnych. Aby go wyznaczyć zacznijmy od napisania równania drugiej przekątnej – jest to prosta postaci y = − 1x + b 2 (bo jest prostopadła do BD ) i przechodzi przez A , więc

9 11 1 = − -+ b ⇒ b = --. 2 2

Punkt S jest punktem wspólnym prostych AC i BD , czyli jego współrzędne są rozwiązaniami układu równań

{ y = 2x − 7 y = − 12x + 112 .

Odejmujemy równania stronami i mamy

5- 25- 0 = 2x − 2 ⇒ x = 5.

Stąd y = 2x − 7 = 3 i S = (5 ,3 ) .

Średnica okręgu wpisanego w romb jest równa jego wysokości – łatwo ją będzie obliczyć z podanego pola jeżeli tylko będziemy wiedzieli jaka jest długość boku rombu.

Sposób I

Jeżeli S jest środkiem rombu, to łatwo obliczyć długość odcinka AS – jest to odległość punktu A od danej prostej l . Mamy zatem

√ -- √ -- AS = |18√-−-1-−-7| = 1√0--= 1-0--5 = 2 5 . 22 + 12 5 5

To z kolei pozwala łatwo obliczyć długość odcinka BS – korzystamy z podanego pola rombu.

√ -- 1 20 5 60 = PABCD = 4PABS = 4 ⋅2-AS ⋅BS = √---⋅BS / ⋅-20- √ -- 5 BS = 3 5.

Teraz łatwo obliczyć długość boku rombu – korzystamy tego, że przekątne rombu są prostopadłe

----------- ∘ 2 2 √ -------- √ --- AB = AS + BS = 20+ 45 = 65.

Obliczamy teraz wysokość rombu.

√ --- 30 60 = PABCD = AB ⋅2r = 2r 65 ⇒ r = √---. 65

Okrąg wpisany w romb ABCD ma więc równanie

900 180 (x− 5)2 + (y − 3 )2 = r2 = ----= ----. 65 13

Sposób II

Jeżeli jesteśmy trochę mniej sprytni, to możemy powyznaczać współrzędne wierzchołków rombu. Obliczamy najpierw długość odcinka AS .

∘ ------------------- √ ------- √ --- √ -- AS = (5− 9)2 + (3 − 1 )2 = 16+ 4 = 20 = 2 5

Tak jak w poprzednim sposobie obliczamy długość odcinka BS .

√ -- 1- 20-- --5- 60 = PABCD = 4PABS = 4 ⋅2 AS ⋅BS = √ --⋅BS / ⋅ 20 √ -- 5 BS = 3 5.

Wierzchołki B i D mają współrzędne postaci (x ,2x− 7) oraz

2 2 2 2 2 45 = SB = (x − 5) + (2x − 7 − 3) = (x − 5 ) + 4(x − 5 ) / : 5 9 = (x − 5)2 x− 5 = − 3 lub x − 5 = 3 x = 2 lub x = 8.

Wybieramy którekolwiek z rozwiąząń i mamy np. B = (x ,2x − 7) = (8,9) . Stąd

∘ ------------------- √ ------- √ --- AB = (8 − 9)2 + (9 − 1)2 = 1 + 64 = 65.

Promień okręgu i jego równanie wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: (x − 5)2 + (y − 3)2 = 18103-

Wersja PDF