Zadanie nr 6287844

W rombie ABCD dane są A = (−1 ,−5 ) i punkt przecięcia przekątnych S = (2,− 2) . Wierzchołek leży na prostej y = 13x − 4 . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy, punkt jest środkiem odcinków i . To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne punktu C = (x ,y ) C C .

( ) A-+-C-- −-1-+-xC- −-5-+-yC- (2,− 2) = S = 2 = 2 , 2 { 4 = − 1 + xC ⇒ xC = 5 − 4 = − 5 + y ⇒ y = 1. C C

Zatem C = (5,1) .

Możemy teraz napisać równanie przekątnej rombu – jest to prosta prostopadła do i przechodząca przez . Równanie prostej napiszemy na kilka sposobów.

Sposób I

Jeżeli punkt P = (x ,y ) leży na prostej to

AP = CP 2 2 AP = CP (x+ 1)2 + (y+ 5)2 = (x − 5)2 + (y− 1)2 2 2 2 2 x + 2x + 1 + y + 10y + 25 = x − 10x + 25 + y − 2y + 1 12y = − 12x y = −x .

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i danej prostej 1 y = 3x − 4 .

{ y = −x y = 13x − 4

Mamy zatem

1- − x = 3x − 4 4 4 = -x ⇒ x = 3. 3

Stąd y = −x = −3 i B = (3,− 3) . Pozostało wyznaczyć współrzędne punktu .

( ) (2,− 2) = S = B-+--D-= 3-+-xD-, −-3-+-yD 2 2 2 { 4 = 3 + xD ⇒ xD = 1 − 4 = − 3+ yD ⇒ yD = − 1 .

Zatem D = (1,− 1) .

Sposób II

Równanie prostej możemy napisać jako równanie prostej prostopadłej do i przechodzącej przez . Najpierw wyznaczmy równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów i mamy

{ − 5 = −a + b 1 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6 = 6a , czyli a = 1 . Współczynnika możemy nie obliczać, bo nie jest nam potrzebny. Prosta jako prostopadła do ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu .

− 2 = −2 + b ⇒ b = 0.

Zatem prosta ma równanie y = −x . Współrzędne punktów i wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Równanie prostej można łatwo napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)