/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6401546

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 2,− 8) i B = (14,− 8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AB | = |AC | . Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y = 12x − 7 . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Wysokość AD jest prostopadła do boku BC , więc prosta BC musi mieć równanie postaci y = − 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

− 8 = − 2⋅ 14+ b ⇒ b = 20 .

Zatem prosta BC ma równanie y = − 2x + 20 . Punkt C ma więc współrzędne postaci C = (x ,−2x + 20) . Pozostało teraz skorzystać z warunku AB = AC .

2 2 AB = AC (14 + 2)2 + (− 8 + 8)2 = (x + 2)2 + (− 2x + 20 + 8)2 2 2 256 = x + 4x + 4 + 4x − 112x + 784 0 = 5x 2 − 108x + 532 = 0 Δ = 1082 − 4 ⋅5⋅ 532 = 102 4 = 322 108 − 32 76 38 3 108 + 32 x = ---------= ---= ---= 7-- ∨ x = ---------= 14. 10 10 5 5 10

Rozwiązanie x = 14 prowadzi do punktu B , zatem 38- x = 5 ,

76 24 y = − 2x + 20 = − ---+ 20 = --- 5 5

oraz ( ) C = 38, 24 5 5 .  
Odpowiedź: ( ) C = 38, 24 5 5

Wersja PDF