Zadanie nr 6469111

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Rysunek sugeruje nam, że punkty i są w tej samej odległości od prostej . Sprawdźmy, że tak jest w istocie. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :

W naszej sytuacji

Teraz skorzystamy z faktu, że jeżeli mamy dwa punkty i po jednej stronie prostej, to punkt na tej prostej, dla którego łamana jest najkrótsza to punkt, dla którego kąty jakie tworzą odcinki i z daną prostą są równe (rysunek).

Uzasadnienie tego jest proste, jeżeli jest obrazem punktu w symetrii względem danej prostej, to

i ta ostatnia liczba jest najmniejsza, gdy punkty i leżą na jednej prostej, co sprowadza się do warunku .

W sytuacji naszego zadania, sprawa jest wyjątkowo prosta, bo punkty leżą w jednakowej odległości od prostej . W takiej sytuacji, warunek z kątami oznacza, że punkt leży na symetralnej odcinka . Wyliczmy jej równanie. Będziemy korzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt

W naszej sytuacji i . Mamy zatem równanie symetralnej

Pozostało znaleźć punkt przecięcia się tej prostej z prostą

Łatwo stąd wyliczyć, że .  
Odpowiedź: