Zadanie nr 6603145

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x − x − 5x + 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = −2x − 22 jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Ze względu na skomplikowany wzór danego wielomianu trudno oczywiście zrobić dokładny rysunek, więc rysujemy schematycznie o co może chodzić w zadaniu. Niech

( ) A = (x,y ) = x , 1x 4 − x 3 − 5x 2 + 2 2x+ 50 4

będzie szukanym punktem.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|- A 2 + B 2 .

Odległość punktu od podanej prostej y+ 2x + 22 = 0 jest więc

\text{[math]}

równa

|y + 2x + 22| |1x 4 − x 3 − 5x 2 + 2 2x+ 50 + 2x + 22| d = ---√---------= -4----------------√------------------- = 1+ 4 5 |1x4 − x3 − 5x2 + 24x + 72 | = -4----------√--------------. 5

Aby ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość tego wyrażenia musimy zbadać funkcję, która znajduje się pod wartością bezwzględną.

1 4 3 2 f (x) = --x − x − 5x + 24x + 72 ′ 43 2 f (x) = x − 3x − 10x + 2 4.

Aby rozłożyć otrzymany wielomian stopnia 3 szukamy jego pierwiastków całkowitych. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego można znaleźć pierwiastek x = 2 . Dzielimy teraz f′(x) przez (x − 2) , my zrobimy to grupując wyrazy.

x3 − 3x2 − 10x + 24 = (x3 − 2x2) − (x2 − 2x) − (12x − 2 4) 2 2 = x (x − 2) − x(x − 2 )− 1 2(x− 2) = (x − 2)(x − x − 12 ).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

x2 − x − 12 = 0 Δ = 1+ 48 = 49 1− 7 1+ 7 x = -----= − 3 ∨ x = ------= 4. 2 2

Pochodna jest więc równa

f′(x) = (x + 3)(x − 2)(x − 4 ).

Widzimy teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziałach (− 3,2) i (4,+ ∞ ,) , oraz ujemna w przedziałach (− ∞ ,− 3) i (2,4) .

To oznacza, że funkcja rośnie w pierwszych dwóch przedziałach i maleje w dwóch kolejnych. W szczególności w punktach x = − 3 i x = 4 funkcja ma minima lokalne i w jednym z tych punktów przyjmuje najmniejszą swoją wartość. Aby ustalić w którym, liczymy f(− 3) i f (4) .

1 81 81− 72 9 f(− 3) = -⋅ 81+ 27− 45 − 72 + 72 = ---− 18 = --------= -- 4 4 4 4 f(4) = 1⋅ 256− 64 − 80 + 96 + 72 = 88. 4

Widzimy zatem, że funkcja przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie i jej najmniejszą wartość otrzymujemy dla x = − 3 . To oznacza, że interesująca nas odległość punktu od danej prostej