Zadanie nr 6628114

Punkty A = (1,− 2), D = (− 2,2) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD . Prosta x + 2y − 7 = 0 jest osią symetrii tego trapezu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

ZINFO-FIGURE

Na początku trochę trudno wyobrazić sobie jak ma wyglądać szukany trapez, ale ponieważ dana prosta nie przecina odcinka musi on być ramieniem trapezu, a prosta musi być osią symetrii prostopadłą do równoległych boków trapezu. W takim razie musimy znaleźć obraz odcinka w symetrii względem danej prostej. Zrobimy to pisząc równania prostych, które są do niej prostopadłe i przechodzą przez punkty i . Następnie znajdziemy na tych prostych punkty, które są odległe od danej prostej o tyle samo co punkty i odpowiednio.

Dana prosta ma współczynnik kierunkowy 1 − 2 , więc proste do niej prostopadłe mają współczynnik kierunkowy 2. Znajdziemy teraz proste postaci y = 2x + b , które przechodzą odpowiednio przez punkty i . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne tych punktów.

AB : − 2 = 2+ b ⇒ b = − 4 DC : 2 = − 4+ b ⇒ b = 6 .

Zatem proste te mają odpowiednio równania y = 2x − 4 i y = 2x + 6 . Szukamy teraz punktów wspólnych tych prostych z daną prostą (od razy podstawiamy za w jej równaniu).

x + 2(2x − 4)− 7 = 0 x + 2(2x + 6 )− 7 = 0 5x = 15 5x = − 5 x = 3 x = − 1 .

Daje to y = 2x − 4 = 2 ⋅3 − 4 = 2 oraz y = 2x + 6 = 2 ⋅(− 1)+ 6 = 4 odpowiednio. Zatem F = (3,2) i E = (− 1,4 ) . Teraz wystarczy zauważyć, że punkty i są środkami odcinków i odpowiednio. Zatem