/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6700809

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest kwadrat ABCD o polu 10 i wierzchołku A = (2,− 2) . Przekątna BD tego kwadratu ma równanie 2x − y − 1 = 0 . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zaczniemy od wyznaczenia współrzędnych punktów B i D . Wiemy, że kwadrat ma pole 10, więc AB 2 = AD 2 = 10 . Wiemy też, że punkty te leżą na prostej y = 2x − 1 . Szukamy zatem punktów postaci (x,2x − 1) , których kwadrat odległości od A jest równy 10.

AB 2 = 1 0 (x − 2)2 + (2x − 1 + 2)2 = 10 2 2 x − 4x + 4 + 4x + 4x + 1 = 10 5x2 = 5 2 x = 1 x = − 1 ∨ x = 1.

Wtedy odpowiednio y = 2x − 1 = − 3 i y = 2x− 1 = 1 . Zatem B = (1,1) i D = (− 1,− 3) (lub odwrotnie).

Łatwo teraz obliczyć współrzędne środka kwadratu S .

( ) S = B-+--D-= 1-−-1, 1-−-3 = (0,− 1). 2 2 2

Punkt S jest też środkiem odcinka AC , więc współrzędne punktu C = (xC ,yC ) spełniają warunek.

A + C S = ------- 2 ( ) (0,− 1) = 2-+-xC-, −-2+-yC- 2 2 { xC = − 2 yC = 0.

Zatem C = (− 2,0) .  
Odpowiedź: B = (1,1),C = (− 2,0),D = (− 1,− 3)

Wersja PDF