/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6872879

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = (1;2) , B = (6;3) , C = (4 ;5) jest prostokątny.

Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy podane punkty, to jest jasne, że kąt prosty powinien być przy wierzchołku C .

PIC

Sposób I

Aby sprawdzić czy tak jest w istocie, musimy sprawdzić czy → → CA ∘CB = 0 . Liczymy

→ → CA ∘CB = [− 3 ,− 3 ]∘[2,− 2] = − 6 + 6 = 0.

A więc istotnie trójkąt ABC jest prostokątny.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z iloczynu skalarnego, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 AC = (4 − 1 ) + (5 − 2) = 9 + 9 = 18 BC 2 = (4 − 6)2 + (5 − 3)2 = 4 + 4 = 8 2 2 2 2 2 AB = (6 − 1) + (3 − 2) = 25 + 1 = 26 = AC + BC .

Zatem istotnie ∡C = 9 0∘ .

Wersja PDF