/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6905815

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Sprawdź, czy czworokąt ABCD , gdzie A = (−3 ,−1 ),B = (53,− 2),C = (54,4 ),D = (−2 ,3) jest równoległobokiem. Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

Sposób I

Wystarczy sprawdzić, czy −→ −→ AB = DC .

PIC

Liczymy

−→ AB = [53+ 3,− 2+ 1] = [5 6,− 1] −→ DC = [54 + 2,4 − 3] = [56,1].

Wektory nie są równe, więc czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem.

Sposób II

Wystarczy sprawdzić czy AB = CD oraz AD = BC . Liczymy

∘ ------------- ∘ -------- AB = 562 + (− 1)2 = 562 + 1 ∘ ---------------- ∘ -------- CD = (− 56)2 + (− 1)2 = 562 + 1 ∘ ------- √ --- AD = 1 2 + 42 = 17 ∘ ------- √ --- BC = 12 + 62 = 37.

Ponieważ AD ⁄= BC czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem.

Sposób III

Czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne dzielą się na połowy. Sprawdźmy, czy środki P i Q przekątnych AC i BD pokrywają się.

( ) ( ) A--+-C- −-3+--54- −1-+-4- 51-3- P = 2 = 2 , 2 = 2 ,2 ( ) ( ) Q = B-+-D--= 53-−-2-, −-2+-3 = 51-, 1 . 2 2 2 2 2

Skoro środki przekątnych to dwa różne punkty, to dany czworokąt nie jest równoległobokiem.  
Odpowiedź: Nie, nie jest.

Wersja PDF