Zadanie nr 7041460

Napisz równanie okręgu o środku P = (− 2,− 7) , którego punkty wspólne z okręgiem o równaniu x2 − 8x + y2 + 2y + 7 = 0 są końcami odcinka o długości √ -- 4 2 .

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie danego okręgu tak, aby było widać jaki ma środek i promień.

2 2 x − 8x + y + 2y + 7 = 0 (x − 4)2 + (y+ 1)2 = − 7+ 16 + 1 = 10 .

Jest to więc okrąg o środku S = (4,− 1) i promieniu √ --- r = 10 . Szkicujemy tę sytuację.

Sposób I

Z rysunku powinno być jasne, że będą dwa okręgi spełniające warunki zadania. Odległość między środkami okręgów jest równa

∘ ----------------------- √ -------- √ -- SP = (− 2 − 4)2 + (− 7 + 1)2 = 36 + 3 6 = 6 2.

Zajmijmy się najpierw sytuacją, gdy wspólna cięciwa obu okręgów przecina odcinek w punkcie . Mamy wtedy

∘ ----(------)--- ∘ ------------ 1 2 √ ------- √ -- SC = SA 2 − AC 2 = r2 − --AB = 10 − 8 = 2 √ -- √ -- 2√ -- P C = SP − SC = 6 2− 2 = 5 2 ∘ ------------ √ ------- √ --- PA = PC 2 + AC 2 = 5 0+ 8 = 58.

W tej sytuacji szukany okrąg ma więc równanie

(x + 2)2 + (y + 7)2 = 58.

Zajmijmy się teraz drugą sytuacją, gdy punkt wspólny cięciwy i prostej leży poza odcinkiem . Wtedy

∘ --------------- ∘ ------------ ( 1 ) 2 √ ------- √ -- SD = SA 2 − AC 2 = r2 − -AB = 10 − 8 = 2 √ -- √ -- 2√ -- P D = SP + SD = 6 2 + 2 = 7 2 ∘ ------------ √ ------- √ ---- PA = P D 2 + AD 2 = 98 + 8 = 106.

Drugi z szukanych okręgów ma więc równanie

(x + 2)2 + (y+ 7)2 = 106.

Sposób II

Szukamy okręgu postaci

r2 = (x + 2)2 + (y + 7)2 = x 2 + 4x + y2 + 14y + 53.

Punkty wspólne i tego okręgu i okręgu danego w treści zadania są rozwiązaniami układu równań

{ 2 2 x − 8x + y + 2y+ 7 = 0 x 2 + 4x + y2 + 14y + 53 − r2 = 0

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

r2 − 46 12x + 12y + 4 6− r2 = 0 ⇒ y = −x + ------- . 12

Żeby nie męczyć się z ułamkami oznaczmy t = r2−46 12 . Podstawiamy teraz y = −x + t do pierwszego równania układu.

2 2 2 2 0 = x − 8x + (−x + t) + 2(−x + t)+ 7 = 2x − (10 + 2t)x + (t + 2t + 7)

Jeżeli x1,x2 są rozwiązaniami powyższego równania, to A = (x1,−x 1 + t) i B = (x2,−x 2 + t) są punktami wspólnymi dwóch okręgów. Spróbujmy rozszyfrować informację o długości cięciwy .