/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 7137969

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (7,1) i D = (4 ,−2 ) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD . Podstawa AB zawiera się w prostej o równaniu x+ 2y− 9 = 0 . Osią symetrii tego trapezu jest prosta o równaniu 2x − y − 3 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C trapezu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Wyznaczamy punkt K przecięcia się podanych dwóch prostych

{ x + 2y − 9 = 0 2x − y − 3 = 0.

Dodajemy do pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 (żeby zredukować y ) i mamy

5x − 15 = 0 ⇒ x = 3.

Z drugiego równania y = 2 ⋅3 − 3 = 3 , czyli K = (3,3) .

Punkt K jest środkiem odcinka AB , więc korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy wyznaczyć współrzędne punktu B .

( ) 7-+-xB- 1+--yB- 2 , 2 = (3,3 ) { 7+x --2B-= 3 ⇒ xB = − 1 1+yB-= 3 ⇒ y = 5. 2 B

Zatem B = (−1 ,5) .

Dokładnie w ten sam sposób możemy wyznaczyć współrzędne punktu C , ale najpierw musimy napisać równanie prostej CD . Jest to prosta równoległa do AB , więc ma równanie postaci x + 2y + b = 0 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

4 + 2⋅ (−2 )+ b = 0 ⇒ b = 0.

Zatem prosta CD ma równanie x + 2y = 0 .

Wyznaczamy punkt L przecięcia się prostych x + 2y = 0 i 2x − y− 3 = 0

{ x + 2y = 0 2x − y − 3 = 0 .

Dodajemy do pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 (żeby skrócić y ) i mamy

5x − 6 = 0 ⇒ x = 6. 5

Z drugiego równania mamy

12 3 y = 2x − 3 = ---− 3 = − -. 5 5

Zatem ( 6 3) L = 5,− 5 .

Podobnie jak wcześniej, ze wzoru na środek odcinka wyznaczamy współrzędne punktu C

( 4 + x − 2+ y) ( 6 3 ) ------,-------- = -,− -- { 2 2 5 5 4+x-= 6 y2− 2 5 3 -2--= − 5 { 12- 8 4 + x = 5 ⇒ xC = − 5 y − 2 = − 6 ⇒ yC = 4. 5 5

Zatem punkt C ma współrzędne

( ) 8 4 C = − -, -- . 5 5

 
Odpowiedź: B = (− 1,5) i ( 8 4 ) C = − 5,5

Wersja PDF