/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 7256790

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są dwa nieskończone ciągi (xn ) i (yn) takie, że dla każdego n ≥ 1 , punkt o współrzędnych (yn + n,xn ) jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (xn,yn),B = (− 2,1),C = (4,− 3) . Wyznacz wzory ciągów (xn ) i (yn ) .

Rozwiązanie

Naszkicujmy trójkąt ze środkiem ciężkości.

PIC

Sposób I

Środek ciężkości trójkąta to punkt przecięcia się jego środkowych i jak wiadomo dzieli on każdą ze środkowych w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. Jeżeli więc D jest środkiem boku BC , czyli

( ) B-+-C- −-2-+-4 1-−-3- D = 2 = 2 , 2 = (1,− 1),

to

−→ −→ AS = 2SD [yn + n − xn,xn − yn] = 2[1 − yn − n,− 1 − xn ] { yn + n − xn = 2− 2yn − 2n { xn − yn = −2 − 2xn 3y + 3n − 2 = x n n 3xn + 2 = yn

Podstawiamy yn = 3xn + 2 z drugiego równania do pierwszego i mamy

3(3x + 2 )+ 3n − 2 = x n n 9xn + 6 + 3n − 2 = xn − 3n − 4 8xn = − 3n− 4 ⇒ xn = --------. 8

Zatem

− 9n − 12 − 9n + 4 yn = 3xn + 2 = ----8-----+ 2 = ----8----.

Sposób II

Zamiast wyliczać współrzędne środka ciężkości trójkąta mogliśmy skorzystać z gotowego wzoru

( ) xA-+-xB-+--xC- yA-+-yB-+-yC-- S = 3 , 3 .

Otrzymujemy z niego

( ) xn-−-2-+-4- yn +-1−--3- (yn + n ,xn) = 3 , 3 ,

co prowadzi do układu równań

{ 3yn + 3n = xn + 2 3xn = yn − 2.

Układ ten rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: xn = −3n8−-4, yn = −9n8+-4 dla n ≥ 1 .

Wersja PDF