/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 7303723

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Napisz równanie okręgu stycznego do osi y w punkcie A = (0,2) i przechodzącego przez punkt P = (4,6) . Wyznacz na okręgu takie punkty B i C , aby trójkąt ABC był równoboczny.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

PIC

Informacja o tym, że szukany okrąg jest styczny do osi y w punkcie (0,2) oznacza, że jego środek leży na prostej y = 2 . Aby ten środek wyznaczyć musimy na tej prostej znaleźć punkt O = (x ,2) , który jest równoodległy od punktów A i P . Mamy więc równanie

(x − 0 )2 + 02 = (x− 4)2 + (2 − 6 )2 x 2 = x2 − 8x + 16 + 16 8x = 32 x = 4.

A więc środkiem szukanego okręgu jest punkt O = (4,2 ) , a jego promień jest równy 4. Możemy napisać równanie okręgu.

(x− 4)2 + (y − 2 )2 = 42.

Ponieważ wiemy, że prosta y = 2 zawiera wysokość AH szukanego trójkąta równobocznego, oraz AO : OH = 2 : 1 , więc spodek wysokości H = (6,2) . Zatem prosta x = 6 zawiera bok BC . Pozostało znaleźć jej punkty wspólne z naszym okręgiem.

(6− 4)2 + (y− 2)2 = 42 2 4+ (y− 2) = 16 (y− 2)2 = 12 √ -- √ -- y− 2 = 2 3 ∨ y− 2 = − 2 3 √ -- √ -- y = 2 + 2 3 ∨ y = 2 − 2 3.

 
Odpowiedź: (x − 4)2 + (y − 2)2 = 42 , √ -- B = (6,2 − 2 3) , √ -- C = (6,2 + 2 3)

Wersja PDF