Zadanie nr 7309775

Wyznacz równanie okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu o równaniu (x − 2)2 + y2 = 4 i do prostej y = 0 , którego środek ma współrzędne różnych znaków i leży na wykresie funkcji y = −x 3 + 14 .

Rozwiązanie

Dany okrąg to oczywiście okrąg o środku A = (2,0) i promieniu r1 = 2 . Szkicujemy tę sytuację.

Z rysunku powinno być jasne, że środek S = (a,b) każdego okręgu wewnętrznie stycznego do danego okręgu i do prostej y = 0 ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc możemy założyć, że b < 0 (bo z założenia współrzędne punktu mają być różnych znaków). Styczność do osi oznacza, że promień szukanego okręgu jest równy |b| = −b . Szukamy więc okręgu postaci

(x− a)2 + (y − b )2 = b2.

Teraz spróbujmy rozszyfrować styczność wewnętrzną szukanego i danego okręgu. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, gdy różnica długości ich promieni jest równa odległości ich środków. Mamy zatem

AS 2 = (r − r )2 1 2 (a − 2)2 + b2 = (2 + b)2 2 2 2 a − 4a + 4+ b = 4 + 4b + b 2 1- 2 a − 4a = 4b ⇒ b = 4a − a.

Teraz pozostało wykorzystać informację o tym, że punkt leży na wykresie funkcji y = −x 3 + 1 4 . Otrzymujemy stąd b = −a 3 + 1 4 , co prowadzi do równania