Zadanie nr 7353387

Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ABC jest zawarta w prostej o równaniu 2y+ x + 6 = 0 , a środek jego przeciwprostokątnej ma współrzędne S = (9 ,0) . Oblicz współrzędne wierzchołka jeżeli 3√-10 cos∡ACB = 10 .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Robiąc obrazek można zauważyć, że możliwe są dwie sytuacje: wszystko zależy od kolejności punktów i na danej prostej.

Po pierwsze zauważmy, że korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej, łatwo jest obliczyć długość przyprostokątnej trójkąta ABC .

|0 + 9 + 6| 30 √ -- AC = 2SD = 2⋅ -√---------= √---= 6 5. 4 + 1 5

Teraz z podanego cosinusa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC .

√ --- √ -- AC-- 3--10- -6--5 20-- √ -- BC = cosα = 10 ⇒ BC = 3√-10-= √ --= 10 2. 10 2

Zauważmy teraz, że w trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego. Tak jest, bo przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. W takim razie punkty i możemy wyznaczyć jako punkty wspólne danej prostej oraz okręgu o środku i promieniu 1 √ -- 2 BC = 5 2 . Rozwiązujemy więc układ równań.

{ 2y + x + 6 = 0 (x − 9)2 + y2 = 50 .

Podstawiamy x = − 2y− 6 z pierwszego równania do drugiego.

2 2 (− 2y − 15) + y = 50 5y2 + 60y + 17 5 = 0 / : 5 y2 + 12y + 35 = 0 Δ = 144 − 140 = 4 y = −1-2−--2-= − 7 ∨ y = −-12+--2-= − 5. 2 2

Wtedy odpowiednio x = − 2y− 6 = 8 i x = −2y − 6 = 4 . Zatem punkty i mają współrzędne (8,− 7) i (4,− 5) lub odwrotnie. W każdym z przypadku obliczamy współrzędne wierzchołka – korzystamy z tego, że jest środkiem odcinka .