Zadanie nr 7501233

Punkt jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta równoramiennego ABC o podstawie . Okrąg o średnicy ma równanie x 2 + y2 + 12x − 10y+ 44 = 0 , a cięciwa tego okręgu równoległa do prostej i przechodząca przez punkt zawiera się w prostej o równaniu x − y + 14 = 0 . Wyznacz równanie okręgu o środku , który przechodzi przez punkty i .

Rozwiązanie

Zacznijmy od przekształcenia równania okręgu tak, żeby widzieć jaki jest jego środek i promień.

2 2 x + y + 1 2x− 10y + 44 = 0 (x 2 + 1 2x+ 36) + (y2 − 10y + 25) = 36+ 25− 44 = 17 (x + 6 )2 + (y − 5)2 = 17.

Jest to więc okrąg o środku O = (− 6,5) i promieniu √ --- r = 17 .

Znajdźmy teraz punkty wspólne tego okręgu z daną prostą – podstawiamy y = x+ 14 w równaniu okręgu.

0 = x2 + y2 + 12x − 10y + 44 = x2 + (x+ 14)2 + 12x − 10(x + 1 4)+ 4 4 = 2 2 2 = x + x + 28x + 196 + 12x − 10x − 140 + 44 = 2x + 30x + 100 / : 2 0 = x2 + 15x + 50 Δ = 225− 200 = 2 5 −-15−--5- −-15-+-5- x = 2 = − 10 lub x = 2 = − 5.

Stąd y = x + 14 = 4 i y = x + 14 = 9 odpowiednio. Zatem K = (− 10,4) , L = (− 5,9) i

( ) ( ) S = K--+-L = −-10−--5, 4-+-9 = − 15-, 13 . 2 2 2 2 2

Chcielibyśmy teraz wyznaczyć współrzędne punktu . Aby to zrobić musimy sięgnąć odrobinę głębiej do geometrii i przypomnieć sobie, że środek ciężkości trójkąta (punkt wspólny jego środkowych) dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). W takim razie SC = 2OS . Łatwo na tej podstawie wyznaczyć współrzędne punktu C = (x,y) .