Zadanie nr 7508248

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Oznaczmy i . Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktu . Jest on symetryczny do punktu względem podanej prostej. Napiszmy równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt . Szukamy prostej w postaci (bo ma być prostopadła do ). Współczynnik wyznaczmy wstawiając współrzędne punktu .

Szukamy teraz punktu przecięcia prostych i .

Dodajemy równania stronami i mamy . Stąd i .

Punkt jest środkiem odcinka , więc

Zatem . Współrzędne punktu wyznaczymy na dwa sposoby.

Wiemy, że czworokącie można opisać okrąg – wyznaczymy jego środek . Mając współrzędne punktu łatwo wyznaczmy współrzędne punktu , bo odcinek musi być średnicą okręgu opisanego na czworokącie .

Punkt jest punktem wspólnym prostej oraz symetralnej odcinka . Napiszemy równanie tej symetralnej. Środkiem odcinka jest punkt

Symetralną odcinka napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt

W naszej sytuacji mamy i . Równanie prostej ma więc postać

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i , czyli punktu .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy . Stąd i . Pozostało teraz skorzystać z tego, że jest środkiem odcinka .

Zatem .

Zauważmy, że ponieważ jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie , kąt jest prosty. To oznacza, że możemy dość łatwo napisać równanie prostej – jest to prosta prostopadła do i przechodząca przez . Jej równanie napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt

W naszej sytuacji i . Zatem prosta ma równanie

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny prostych i .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy . Stąd i .  
Odpowiedź: i