Zadanie nr 7523804

Dane są dwa wierzchołki A = (3,8) i B = (− 2,− 2) prostokąta ABCD oraz punkt ( ) E = 6, 32 leżący na prostej . Wyznacz współrzędne wierzchołków i tego prostokąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Napiszmy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 8 = 3a+ b − 2 = − 2a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

10 = 5a ⇒ a = 2.

Współczynnika nie obliczamy, bo nie będzie nam potrzebny.

Możemy teraz napisać równanie prostej – jest równoległa do , więc ma równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu .

3- 3- 21- 2 = 1 2+ b ⇒ b = 2 − 12 = − 2 .

Prosta ma więc równanie y = 2x − 21 2 .

Piszemy teraz równanie prostej – jest ona prostopadła do , więc ma równanie postaci 1 y = − 2x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

3 3 19 8 = − --+ b ⇒ b = 8 + --= ---. 2 2 2

Prosta ma więc równanie 1 19 y = − 2x + 2 .

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i

{ y = 2x − 212 y = − 1x + 19. 2 2

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 21 19 0 = 2x+ -x − ---− --- 2 2 2 20 = 5x ⇒ x = 8. 2

Stąd 21 11 y = 2x − 2-= 2- i ( 11) D = 8 ,2- .

Współrzędne punktu wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Liczymy dokładnie tak samo jak w przypadku punktu – szukamy równania prostej w postaci y = − 1x + b 2 i podstawiamy w tym równaniu współrzędne punktu .