Zadanie nr 7838063

Dany jest ciąg xn = − 1 − n dla n ≥ 1 . Ciąg (yn) ma tę własność, że dla każdego n ≥ 1 punkty o współrzędnych (xn,0),(− 1,1),(0,yn) leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny ciągu (yn ) .

Rozwiązanie

Największa trudność w tym zadaniu, to makabryczne sformułowanie. Pełno dziwnych znaczków i trudno się połapać o co chodzi. No więc trochę to uprośćmy. Po pierwsze, oznaczenie ciągu jest zupełnie niepotrzebne, można ciąg wywalić i warunek z zadania zastąpić warunkiem: punkty A = (− 1 − n,0 ),B = (− 1,1),C = (0,yn) leżą na jednej prostej. Ok, nie ma już ciągu .

Kolejna myśl, to jak to jest, że fakt, że punkt (0,yn) leży na prostej wyznaczonej przez (− 1 − n,0),(− 1,1) pozwala wyliczyć ? - przecież na tej prostej jest pełno punktów. Żeby to zrozumieć, trzeba zrobić rysunek.

Na tym schematycznym rysunku zaznaczone są przykładowe punkty i prosta. Punkt B = (− 1,1) stoi w miejscu, punkt (na osi ) zmienia się (w zależności od ), a punkt (na osi ) to ten którego szukamy.

Po tym wstępie wszystko powinno być jasne.

Sposób I

Piszemy wektory → AB i → BC i sprawdzamy kiedy są równoległe.

→ AB = [n,1] → BC = [1,yn − 1].

Wektory [x1,y1] i [x2,y2] są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy x1y 2 − x 2y1 = 0 (równoważnie, współrzędne są proporcjonalne). Otrzymujemy zatem równanie