Zadanie nr 7857580

Wyznacz wartość parametru , dla której pole koła stycznego do prostych zawierających boki i równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (5,− 4) , B = (2,− 8) , C = (m 3 + 15m ,m 4 + 10m 2) jest najmniejsze możliwe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie

Szkicujemy równoległobok.

Promień okręgu stycznego do prostych i to dokładnie połowa odległości między tymi prostymi, czyli połowa odległości punktu od prostej . Aby obliczyć tę odległość piszemy najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 4 = 5a + b − 8 = 2a + b .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy.

4 4 = 3a ⇒ a = 3.

Stąd

8- 32- b = − 8− 2a = − 8 − 3 = − 3

i prosta ma równanie

y = 4x − 32- / ⋅3 3 3 3y − 4x + 32 = 0.

Korzystamy teraz ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

Odległość punktu od prostej jest więc równa

4 2 3 f (m) = |3(m--+-10m--)√-−-4(m---+-15m-)+--32| = 32 + 42 1 = -|3m 4 − 4m 3 + 3 0m 2 − 60m + 32 |. 5

Sprawdzamy teraz jakie wartości może przyjmować wielomian pod wartością bezwzględną.

4 3 2 f(m ) = 3m − 4m + 3 0m − 60m + 32 f′(m ) = 12m 3 − 12m 2 + 60m − 60 = 12(m 3 − m 2 + 5m − 5) = 2 2 = 12(m (m − 1)+ 5(m − 1)) = 12(m + 5 )(m − 1).

Ponieważ pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe i zmienia w nim znak z ujemnego na dodatni, funkcja maleje na przedziale (−∞ ,1 ⟩ i rośnie na przedziale ⟨1,+ ∞ ) . Najmniejszą wartością tej funkcji jest więc