/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 7859655

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 4,− 1), B = (0 ,− 5 ), C = (2,1) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z rysunku powinno być widać, że AC = BC . Dla pewności sprawdźmy to.

∘ ------------------- √ ------- √ --- AC = (2+ 4)2 + (1+ 1)2 = 36 + 4 = 40 ∘ ------------------- 2 2 √ ------- √ --- BC = ∘ (2-−-0-)-+-(1-+-5)--=- 4 + 3 6 = 40 2 2 √ -------- √ --- AB = (0+ 4) + (− 5 + 1) = 16+ 16 = 32.

Policzyliśmy też długość AB , żeby mieć pewność, że trójkąt nie jest równoboczny – wtedy miałby 3 osie symetrii.

Szukana oś symetrii jest więc symetralną boku AB . Jak zwykle w geometrii analitycznej, możemy ją wyznaczyć na różne sposoby.

Sposób I

Szukana prosta jest prostą przechodzącą przez punkt C oraz przez środek

( − 4 + 0 − 1− 5) S = ------- ,------- = (− 2,− 3) 2 2

odcinka AB . Korzystamy teraz ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA ) − (yB − yA )(x− xA) = 0.

W naszym przypadku mamy (bierzemy A = S,B = C )

(y + 3)(2 + 2) − (1 + 3)(x + 2) = 0 (y + 3) − (x + 2) = 0 y − x + 1 = 0 ⇒ y = x − 1.

Sposób II

Szukana prosta jest prostopadła do AB i przechodzi przez C . W takiej sytuacji bardzo wygodny jest wzór na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy → →v = AB = [4,− 4] , co daje równanie

4(x − 2) − 4(y − 1) = 0 x − 2 − y + 1 = 0 ⇒ y = x − 1.

Sposób III

Możemy również myśleć o szukanej osi symetrii jak zbiorze punktów (x,y) , które są równo odległe od punktów A i B (symetralna odcinka AB ). Daje to nam równość

∘ ------------------- ∘ ------------------- 2 2 2 2 2 (x + 4) + (y + 1) = (x− 0) + (y + 5 ) /() x2 + 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = x 2 + y 2 + 1 0y+ 25 8x − 8y − 8 = 0 ⇒ y = x − 1.

 
Odpowiedź: y = x− 1

Wersja PDF