Zadanie nr 7922647

Wyznacz punkt wspólny symetralnej odcinka , gdzie A = (− 3 ,4 ),B = (2,1) , oraz osi .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Sposób I

Pamiętamy, że symetralna odcinka jest to taka prosta która jest równo oddalona od końców tego odcinka. Otrzymujemy więc równanie

∘ ------------------- ∘ ------------------- (x+ 3)2 + (y− 4)2 = (x − 2)2 + (y − 1)2 (x + 3 )2 + (y − 4)2 = (x− 2)2 + (y − 1 )2 2 2 2 2 x + 6x + 9+ y − 8y+ 16 = x − 4x + 4 + y − 2y + 1 6x − 8y+ 25 = − 4x − 2y + 5 1 0x+ 20− 6y = 0 ⇒ 5x + 10 − 3y = 0 .

Żeby policzyć punkt przecięcia z osią wystarczy podstawić x = 0

10 10 − 3y = 0 ⇒ y = --. 3

Zatem punkt przecięcia ma współrzędne ( 10) 0 ,3 .

Sposób II

Wyznaczamy środek odcinka

( ) ( ) S = 2+--(−3-), 1-+-4 = − 1, 5- . 2 2 2 2

Skorzystamy ze wzoru

p(x − a )+ q(y − b ) = 0

na równanie prostej prostopadłej do wektora →a = (p,q) i przechodzącej przez punkt P = (a,b) . W naszym przypadku punktem będzie środek odcinka (symetralna odcinka zawsze przechodzi przez jego środek) natomiast wektor będzie równy

− → ( ( ) ) ( ) AS = − 3 − − 1- ,4− 5- = − 5, 3 . 2 2 2 2

Symetralna ma więc równanie

( ( )) ( ) 5- 1- 3- 5- − 2 x − − 2 + 2 y− 2 = 0 − 5x − 5-+ 3y − 1-5 = 0 2 4 2 4 − 1 0x+ 6y − 20 = 0 ⇒ 3y − 5x − 10 = 0.

Znowu podstawiamy x = 0 i otrzymujemy

10 y = --. 3

Zatem współrzędne punktu przecięcia to ( ) 0, 10 3 .

Sposób III

Oznaczmy przez y = ax + b równanie szukanej symetralnej. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty i . Otrzymujemy układ równań

{ 4 = − 3a + b 1 = 2a + b.

Odejmujemy stronami i otrzymujemy

3- − 3 = 5a ⇒ a = − 5 ( 3) 11 1 = 2 ⋅ − -- + b ⇒ b = --. 5 5

Wyznaczamy współrzędne środka odcinka

( ) ( ) S = 2+--(−3-), 1-+-4 = − 1, 5- . 2 2 2 2

Napiszemy teraz równanie prostej prostopadłej do prostej y = − 35x + 151 i przechodzącej przez punkt . Zaczynamy od wyznaczenia współczynnika kierunkowego z warunku na prostopadłość