/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 7996999

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (− 1,− 5),B = (5,1),C = (1,3),D = (− 2,0) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD . Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

PIC

Aby obliczyć pole trapezu musimy znać długości jego podstaw oraz długość wysokości. Długości podstaw łatwo obliczyć.

∘ ------------------- √ -------- √ -- AB = (5+ 1)2 + (1+ 5 )2 = 36+ 36 = 6 2 ∘ --------------------- 2 2 √ ------ √ -- CD = (− 2− 1) + (0− 3) = 9+ 9 = 3 2.

Napiszmy teraz równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ − 5 = −a + b 1 = 5a + b .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6a = 6 , czyli a = 1 . Stąd b = − 5+ a = − 4 i prosta AB ma równanie: y = x − 4 .

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Wysokość trapezu możemy łatwo obliczyć ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ A 2 + B 2 .

W naszej sytuacji mamy P = D = (− 2,0 ) , a prosta to: x− y− 4 = 0 . Mamy zatem

|− 2 − 4| 6 h = -√--------= √--. 1 + 1 2

Pole trapezu jest więc równe

√ -- √ -- P = AB--+-CD--⋅h = 6--2-+-3--2-⋅√-6--= 27. 2 2 2

Sposób II

Jeżeli ktoś nie chce korzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, to wysokość trapezu możemy wyznaczyć bardziej wprost, wyznaczając równanie wysokości DE opuszczonej z wierzchołka D na bok AB .

Prosta DE jest prostopadła do prostej AB , więc ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu D .

0 = 2+ b ⇒ b = − 2.

Szukamy teraz punku wspólnego prostych AB i DE .

{ y = x − 4 y = −x − 2.

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ), mamy 0 = 2x− 2 , czyli x = 1 i y = x − 4 = − 3 . Zatem E = (1,− 3) i

∘ --------------------- √ ------ √ -- h = DE = (1 + 2)2 + (− 3− 0)2 = 9 + 9 = 3 2 .

Pole trapezu jest równe

√ -- √ -- AB-+--CD-- 6--2+--3--2- √ -- P = 2 ⋅h = 2 ⋅3 2 = 2 7.

 
Odpowiedź: 27

Wersja PDF