Zadanie nr 8077442

Dane są punkty A = (2,3) i B = (5,4) . Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu, że jeżeli mamy dwa punkty i po jednej stronie prostej, to punkt na tej prostej, dla którego łamana ACB jest najkrótsza to punkt, dla którego kąty jakie tworzą odcinki i z daną prostą są równe (rysunek).

Uzasadnienie tego jest proste, jeżeli jest obrazem punktu w symetrii względem danej prostej, to

AC + CB = AC + CB ′

i ta ostatnia liczba jest najmniejsza, gdy punkty A ,C i B ′ leżą na jednej prostej, co sprowadza się do warunku α = β .

W sytuacji naszego zadania, sprawa jest wyjątkowo prosta, bo prosta jest pozioma, więc łatwo jest znaleźć obraz punktu przy symetrii względem tej prostej: B ′ = (5 ,6) . Napiszemy teraz równanie prostej AB ′ i znajdziemy jej punkt wspólny z prostą y = 5 .