Zadanie nr 8386114

Dany jest okrąg o równaniu 2 2 (x + 2) + (y − 6 ) = 4 . W drugiej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o1, o2 styczne zewnętrznie do okręgu i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o 1 oraz o 2 .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Zauważmy, że okrąg, który jest zawarty w II ćwiartce układu i jest styczny do obu osi układu musi mieć środek na prostej y = −x oraz promień równy wartości bezwzględnej współrzędnych środka. Szukamy więc okręgów postaci

2 2 2 (x+ a) + (y − a ) = a ,

dla pewnego a > 0 . Pozostało teraz zapisać informację o tym, że okrąg ten ma być styczny zewnętrznie do danego okręgu o środku (−2 ,6) i promieniu 2. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków jest równa sumie ich promieni. Musimy więc rozwiązać równanie